NÚMEROS COMPLEXOS - INTRODUÇÃO

Primeiro os números eram reais (os inteiros, as frações e mesmo os decimais não exatos nem periódicos).

No século XVI, os matemáticos começaram a utilizar √–1 para representar as raízes da equação x² + 1 = 0. Criou-se então a unidade imaginária i^{2 =}– 1.

Com a invenção dessa unidade imaginária, possibilitou encontrar números, que, elevados ao quadrado, resultavam números negativos.

Quando solucionamos, por exemplo, a equação x² + 1 = 0, encontramos x² = – 1, logo: x = √–1.

A raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Por isso surgiu um novo conjunto chamado números complexos.

Com isso, as equações que tinham como solução uma raiz quadrada de um número negativo ou equações em que Δ˂ 0, passaram a ter solução.

Criou-se, então, uma unidade imaginária definida por i² = − 1, em que i = √–1.

Forma algébrica

Definimos como número complexo todo número que pode ser escrito na forma z = a + bi. Onde a é a parte real, bi é a parte imaginária.

z = a + bi é a forma algébrica do complexo.

Exemplos:

a)      z = 5 – 2iSe a ≠ 0 e bi ≠ 0, o número é chamado número imaginário.

b)      z = − 10i     Se a = 0 e b ≠ 0, o número é chamado imaginário puro.

c)      z = 3           Se bi = 0, o número é chamado real puro.

Outros exemplos:

a)      z = − 1+ 2i( − 1 é a parte real; 2 é parte imaginária)

b)      z = − 12i      ( a = 0; b = − 12)

c)      z = − 18       ( a = − 18; b = 0)

Associe ao complexo na forma z = a + bi o par ordenado (a, b) correspondente:

a)      z = 3 – 2i                     z = ( 3, −2)

b)      z = − 5                        z = (− 5, 0)

c)      z = −4i                        z = (0, − 4)

d)      z = − 1− i                    z = (−1, − 1)

SOMA E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Se quisermos ter um sistema de números significativo que tenha sentido, é necessário que exista um método para combinar estes pares ordenados. Precisamos definir operações algébricas, de uma forma coerente de modo a que a soma, diferença, produto e quociente de quaisquer dois pares ordenados serão novamente um par ordenado.

Escrevendo, como fez Gauss, o par

Assim, faz sentido a seguinte definição:

Adição

Subtração

Estas definições herdam todas as propriedades algébricas dos números reais.

O MPD que segue, temos a representação dos  números complexos arbitrários:

    e   

bem como a 

  

soma        e a diferença    

Observando o paralelogramo vemos que a soma é a digonal partindo da origem e a diferença é a diagonal indo de 

   até   

Clique na Figura acima e ao acessar o  MPD, altere os valores de a, b, c e d, digitando seus valores na parte inferior ou movendo com o mouse a bolinha vermelha de

         ou de    .

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Os números complexos são multiplicados com base na propriedade distributiva, sempre lembrando que um numeral complexo é formado por uma parte real e uma imaginária. Veja: 

4 + 3i → Re(z) = 4 e Im(z) = 3
2 – 5i → Re(z) = 2 e Im(z) = –5
4 + 3i → Re(z) = 4 e Im(z) = 3
12 – 9i →Re(z) = 12 e Im(z) = –9

Multiplicando os complexos

Exemplos

a) (2 + 5i) * (1 – 2i)
2 – 4i + 5i – 5i² (lembrando que i² = – 1)
2 – 4i + 5i – 5 *(–1)
2 – 4i + 5i + 6
8 + i

b) (4 + 3i) * (2 + 6i)
8 + 24i + 6i + 18i² (lembrando que i² = – 1)
8 + 24i + 6i + 18 * (–1)
8 + 24i + 6i – 18
–10 + 30i

c) (6 – 3i) * (–3 + 7i)
–18 + 42i + 9i – 21i² (lembrando que i² = – 1)
–18 + 42i + 9i – 21 * (–1)
–18 + 42i + 9i + 21
3 + 51i

d) (10 + 10i) * (10 – 10i)
100 – 100i + 100i – 100i² (lembrando que i² = – 1)
100 – 100i + 100i – 100 * (–1)
100 + 100 + 0i
200 + 0i
200

e) 4 + 3i + (1 – 2i) * (3 + i)
4 + 3i + (3 + i – 6i – 2i²)
4 + 3i + 3 + i – 6i – 2i² (lembrando que i² = – 1)
4 + 3i + 3 + i – 6i – 2 * (–1)
4 + 3i + 3 + i – 6i + 2
9 – 2i

f) (2 – 3i) * (1 – 5i) – 4i – 8
2 – 10i – 3i + 15i² – 4i – 8 (lembrando que i² = – 1)
2 – 10i – 3i + 15 * (–1) – 4i – 8
2 – 10i – 3i – 15 – 4i – 8
2 – 15 – 8 – 10i – 3i – 4i
–21 – 17i


g) (–12 – 5i) * (5 + 5i) – 4i + 7
–60 – 60i – 25i – 25i² – 4i + 7 (lembrando que i² = – 1)
–60 – 60i – 25i – 25 * (–1) – 4i + 7
–60 – 60i – 25i + 25 – 4i + 7
–60 + 25 + 7 – 60i – 25i – 4i
–60 + 32 – 89i
–28 + 89i


h) (4 + 3i) * (2 – 5i) + (4 – 3i) * (2 + 5i)
8 – 20i + 6i – 15i² + (8 + 20i – 6i + 15i²)
8 – 20i + 6i – 15i² + 8 + 20i – 6i + 15i²
8 + 8 – 20i + 20i + 6i – 6i – 15i² + 15i²
16


i) (3 + 30i) * (2 – 3i) + 4 – 5i
6 – 9i + 60i – 90i² + 4 – 5i (lembrando que i² = – 1)
6 – 9i + 60i – 90 * (–1) + 4 – 5i
6 – 9i + 60i + 90 + 4 – 5i
6 + 90 + 4 – 9i + 60i – 5i
100 + 46i


j) (20 – 4i) * (2 + 5i) + (8 + 9i) * (7 – 10i) + 4 + 6i
40 + 100i – 8 – 20i² + (56 – 80i + 63i – 90i²) + 4 + 6i
40 + 100i – 8 – 20i² + 56 – 80i + 63i – 90i² + 4 + 6i (lembrando que i² = – 1)
40 + 100i – 8 – 20 * (–1) + 56 – 80i + 63i – 90 * (–1) + 4 + 6i
40 + 100i – 8 + 20 + 56 – 80i + 63i + 90 + 4 + 6i
40 – 8 + 20 + 56 + 90 + 4 + 100i – 80i + 63i + 6i
202 + 89i

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado um número complexo z = a + bi (em que a, b ∈ ), chama-se conjugado de z ao número complexo  tal que  = a - bi.Assim, z e  são complexos conjugados se têm partes reais iguais e partes imaginárias simétricas.

Exemplos:
Sendo , então ;
Sendo z = - 3 + i, então ;
Sendo z = - 3i, então ;
Sendo z = - 2, então .
Propriedade:
Sendo um número complexo z = a + bi (em que a, b ∈ ), então .
O seu complexo conjugado é  = a - bi, então .
Podemos então concluir que .
Ou seja, os módulos de dois números complexos conjugados são iguais. 
No caso de z se apresentar na forma trigonométrica, o seu conjugado  é um complexo com módulo igual e cujo argumentodifere do de z em 2π radianos, ou seja, se z = ρ cis θ, então  = ρ cis (-θ) ou também  = ρ cis(2π - θ).
Exemplo:
Sendo , então  ou .
Outras propriedades:
z +  = a + bi + a - bi = 2a
Ou seja, a soma de dois números complexos conjugados é um número real.
z -  = a + bi - (a - bi) = 2bi
Ou seja, a diferença de dois números complexos conjugados é um número imaginário puro.
 
Logo, . 
Ou seja, o produto de um número complexo pelo seu complexo conjugado é igual ao quadrado do módulo de qualquer um deles.