Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como:
Dado dois números complexos z1 e z2, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra: z1 : z2 = z1. z2
De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por:
Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será:
Temos duas formas de abordar o módulo de um número complexo, ambas apontando para a mesma definição, que é acerca doo comprimento, ou da distância do afixo do número complexo (Ponto C na imagem abaixo) até a origem do sistema de coordenadas. Vejamos a representação geométrica do que foi dito:
O módulo no gráfico acima está sendo representado por |z|, veja que se aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo AOC, podemos obter uma expressão para o módulo de z , |z|.
Veja que foi utilizado um número complexo qualquer, portanto, a expressão obtida para o módulo de um número complexo é válida para qualquer número complexo.
Foi mostrado anteriormente duas formas do módulo número complexo: sendo calculado algebricamente pela expressão acima e o módulo sendo representado geometricamente.
Analise o quanto é fácil encontrar o módulo de um número complexo:
Assim, podemos encontrar um conjunto no qual as distâncias sejam iguais a um determinado número.
Represente no plano de Argand-Gauss, o subconjunto A do conjunto dos números complexos, onde:
Necessitamos determinar um valor qualquer para o número complexo w, portanto, façamos w=x+yi, onde que x e y são números reais.
Note que se trata de uma equação de uma circunferência de centro (0,0) e raio 5.
Sendo assim, vimos algumas das aplicações do conceito de módulo, assim como a expressão para calculá-lo.
Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.
i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um.
i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo.
i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja:
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante.
Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = - i.
Podemos concluir que in = ir, onde r é o resto da divisão.
Potências de Números Imaginários
Exemplo de Potência de Número Imaginário
á vimos que o cálculo de potências de números reais com expoente natural é realizado através de uma multiplicação em que todos os fatores são iguais à base e em quantidade igual ao expoente natural.
Veja que a potência abaixo é o resultado de uma multiplicação com 3 fatores iguais a 5:
Esta outra potência é resultado de uma multiplicação contendo 4 fatores iguais a 7:
No caso de potências de números complexos com expoente natural o procedimento é o mesmo:
Se já é trabalhoso realizar diversas multiplicações no caso dos números reais, imagine realizar as multiplicações acima, que contém quatro números complexos. A multiplicação de números complexos é realizada tal qual a multiplicação de polinômios.
Quando a parte imaginária de um número complexo é nula, temos um número número reale o cálculo da potência é realizado como vimos no primeiro exemplo deste artigo:
Quando temos um número imaginário puro, isto é, quando a parte real de um número complexo é nula, o cálculo da potência pode ser realizado como no seguinte exemplo:
Note que na expressão acima temos que i5 é igual a i1, pois o resto da divisão de 5 por 4 é igual a 1. Se você não sabe o porquê de tal igualdade, por favor, acesse o artigo potências da unidade imaginária.
Números complexos cujas partes real e imaginária não são nulas, são números imaginários.
De forma alternativa podemos calcular potências de números imaginários com expoente natural, recorrendo ao Binômio de Newton.
Como já estudamos no referido artigo, segundo o método de Isaac Newton o desenvolvimento de (a + b)n com e é dado por:
Vejamos como realizar o cálculo da potência (-3 - 5i)4 segundo o método do Binômio de Newton:
Substituindo a, b e n por -3, -5 e 4, respectivamente, na sentença do desenvolvimento de (a +b)n, segundo o método de Isaac Newton, temos:
Observe que todos os números binomiais possuem numerador igual a 4 e os denominadores vão de 0 a 4, do número binomial ao número binomial .
Assim como nas frações, o número superior de um número binomial é chamado numerador e o inferior é odenominador.
Note ainda que o expoente dos fatores -3, a parte real do número complexo, começa em 4, o expoente da potência, e decresce até 0.
Já o expoente dos fatores -5i, a parte imaginária do número complexo, ao contrário, começa em 0 e cresce até 4.
Os números binomiais podem ser calculados segundo a fórmula da combinação simples:
No entanto para agilizarmos o desenvolvimento deste exemplo, podemos aplicar algumas propriedades que vimos no estudo dos números binomiais.
Como , e , temos que:
Precisamos ainda calcular e .
é obtido através da fórmula da combinação simples:
No caso do número binomial , vamos recorrer a uma outra propriedade.
No estudo dos números binomiais aprendemos que , então podemos concluir que:
Substituindo cada número binomial por seu respectivo valor e desenvolvendo a expressão, temos:
Para a conclusão dos cálculos, a partir deste ponto vamos utilizar os conhecimentos adquiridos sobre as potências da unidade imaginária:
Os números complexos são uma extensão do conjunto dos números reais. Na verdade, número complexo é um par ordenado de números reais (a, b). Escrito na forma normal, o par ordenado (a, b) fica z = a + bi. Representando esse número complexo no plano de Argand-Gauss, teremos:
O segmento de reta OP é chamado de módulo do número complexo. O arco formado entre o eixo horizontal positivo e o segmento OP, no sentido anti-horário, é chamado de argumento de z. Observe a figura abaixo para determinarmos as características do argumento de z.
No triângulo retângulo formado, podemos afirmar que: Podemos constatar, também, que: Ou Exemplo 1. Dado o número complexo z = 2 + 2i, determine o módulo e o argumento de z. Solução: Pelo número complexo z = 2 + 2i, sabemos que a = 2 e b = 2. Segue que: Exemplo 2. Determine o argumento do número complexo z = – 3 – 4i. Solução: Para determinar o argumento de z, precisamos conhecer o valor de |z|. Assim, como a = – 3 e b = – 4, teremos: Nos casos em que o argumento não for um ângulo notável, é preciso determinar o valor de sua tangente, como feito no exemplo anterior, para só depois podermos afirmar quem é o argumento.
Exemplo 3. Dado o número complexo z = – 6i, determine o argumento de z. Solução: Vamos calcular o valor do módulo de z.
Vejamos como realizar o cálculo da potência 
, 
e 
, temos que:
e 
.
, então podemos concluir que:
