ATIVIDADES DE NUMEROS COMPLEXOS

Resolva a lista de exercícios sobre Números Complexos na forma algébrica:

Recomendamos que você assista a video aula sobre Números Complexos na Forma Algébrica , antes de resolver estes exercícios:

1) (FAAP) Calcular o quociente: 1+i2−1

GAB 1+3i5

2) (VUNESP) Sendo i a unidade imaginária, o valor de (1+i1−i)4 é:

a) -1

b) –i

c) 2i

d) i

e) 1

GAB E

3) (MACK) O número (1+i)10 é igual a:

a) 32i

b) -32i

c) 32 + 10i

d) 32-10i

e) 10i

GAB A

4) O valor de i246+i121i34 é:

a) i

b) 2i

c) -1

d) 1 – i

e) 2

GAB D

5) (MACK) A solução da equação |Z| + Z = 2 + i é um número complexo de módulo:

a) 5/4

b) 5√

c) 1

d) 5√2

e) 5/2

GAB A

6) O número complexo 2z, tal que 5z +  Z¯¯¯= 12 + 6i é:

GAB Z = 4 + 3i

7) Calcule [(1+i)⁸⁰ + (1+i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰
GAB: 1+2i

8 ) (UFES) O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) 1/2 - (3/2)i

GAB B

9) Qual é o valor de m para que o produto de (2 + mi).(3 + i) seja imaginário puro?

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 10

GAB B

10) Encontre os números reais x e y de modo que (3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i.

GAB : x = 2 e y = 3

1. (UFU-MG) Sejam os complexos z = 2x – 3i  e  t = 2 + yi, onde x  e  y são números reais. Se z = t, então o produto x.y é

     A) 6       B) 4       C) 3       D) –3       E) –6

2. (PUC-MG) Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a

     A) 1 + 2i       B) 2 + i       C) 2 + 2i       D) 2 + 3i       E) 3 + 2i

3. (UFV-MG) Dadas as alternativas abaixo

I.  i² = 1        II. (i + 1)² = 2i         III. ½4 + 3i½ = 5       IV. (1 + 2i).(1 – 2i) = 5 pode-se dizer que

A) todas as alternativas acima estão corretas

B) todas as alternativas acima estão erradas

C) as alternativas I e III estão erradas

D) as alternativas II, III e IV estão corretas

E) as alternativas I e III estão corretas

4. (MACK-SP) Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, então, o número de soluções da equação Ī = I² é:

A) 0       B) 1       C) 2       D) 3       E) 4

5. (ITA-SP) Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-Gauss por dois pontos simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação

A) u. Ī = 1         B) u. I = 1       C) u + Ī = 0       D) u. I = 0       E) n.r.a

6. (CESGRANRIO-RJ) O módulo do complexo z, tal que z² = i, é

A) 0       B) (Ö2)/2       C) 1       D) Ö2       E) 2

7. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?

A) 5       B) 6       C) 7       D) 8       E) 10

8. (MACK-SP) O conjugado de (2 - i)/i vale

A) 1 – 2i       B) 1 + 2i       C) 1 + 3i       D) –1 + 2i       E) 2 - i

9. Se n é um inteiro, então o conjunto solução em Z, da equação iⁿ + i^-n = 0, onde i = Ö-1, é:

A)	{n Є Z/ n é ímpar}
B)	{n Є Z/ n é par}
C)	{n Є Z/ n > 0}
D)	{n Є Z/ n < 0}
E)	Z

10. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?

A)  5       B)  6       C) 7       D) 8      E) 10

11. Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

12. Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , calcule Im(z).w + Im(w).z .

13. (UCMG) O número complexo 2z, tal que 5I + Ī = 12 + 6i é:  

14. (UCSal) Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser:

15. (UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i  e  c = 4 - 3i , o valor de ac + b é:

16. (Mackenzie-SP) O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:

17. Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.

18. Calcule [(1 + i)⁸⁰ + (1 + i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰

19. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, sabendo-se que z + w é um número real e  z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a.

20. Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0, então calcule o valor de a.

21- Determine o número complexo I tal que iI  + 2.Ī + 1 - i = 0.

22. (UFMG) Se z = (cos q + i senq)  é um número complexo na forma trigonométrica, mostra-se que zⁿ = rⁿ(cos q + i sen nq) para todo n Î IN. Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.

A) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre que z² = r²(cos 2q + i sen 2q).

B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais  (Ö3 + i)ⁿ  seja imaginário puro.

23. (UFMG)

A) Dado o número complexo na forma trigonométrica I = 2[cos (3p/8) + i sen(3p/8)], escreva os números complexos Ī, I² e na forma trigonométrica.

B) No plano complexo da figura abaixo, marque e identifique os números I, Ī, I² e no item acima.

Nessa figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer têm a mesma medida.

24. (UFMG) Por três pontos não-colineares do plano complexo, z₁, z₂ e z₃, passa uma única circunferência.

Sabe-se que um ponto z está sobre essa circunferência se, e somente se, for um número real.

Seja C a única circunferência que passa pelos pontos z₁ = 1, z₂ = -3i e z₃ = -7 + 4i  do plano complexo.

Assim sendo, determine todos os pontos do plano complexo cuja parte real é igual  a –1  e que estão sobre a circunferência C.

25. (UFMG) 2002 - Observe esta figura:

    

Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4.

Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados geometricamente pelos pontos  P e Q.  

Considerando esses dados, escreva o número complexo z¹¹ / i.w⁵ na forma a + bi, em que a e b são números reais.

26. (UEFS) O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i, é:

a) -3i      b) 1 – i      c) 5/2 + (5/2)i      d) 5/2 - (3/2)i       e) ½ - (3/2)i

27. (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:

a) -1 + 2i      b) 1 + 2i      c) 1 - 2i      d) 3 - 4i      e) 3 + 4i

28. (UEFS) Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:

a) 1 e 10      b) 5 e 10       c) 7 e 9      d) 5 e 9      e) 0 e -9

29. (UEFS) A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:

a) Ö13      b) Ö7       c) 13      d) 7      e) 5

30. (FESP/UPE) Seja  z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:

a) 16      b) 161      c) 32      d) 32i      e) 32 + 16i

31. (UCSal) Sabendo que (1 + i)² = 2i, então o valor da expressão y = (1 + i)⁴⁸ - (1 + i)⁴⁹ é:

a) 1 + i       b) -1 + i       c) 2²⁴ . i       d) 2⁴⁸ . i       e) -2²⁴ . i

1) Sendo z = (m^2 - 5m + 6) + (m^2 - 1) i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula    

ou seja, devemos ter m² - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m = 2 ou m = 3.

2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)^12.

Solução:   Observe que (1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável  (1 + i)² = 1² + 2.i + i² = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)² = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).  Substituindo na expressão dada, vem:  (1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ = (2i)⁶ = 2⁶.i⁶ = 64.(i²)³ = 64.(-1)³ = - 64. 
            Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.

3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)^200.

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)²]¹⁰⁰ . Desenvolvendo o produto notável (1 - i)² = 1² - 2.i + i² = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)² = - 2i (isto é uma propriedade importante,                                                                                                                                                            que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: z = (- 2i)¹⁰⁰ = (- 2)¹⁰⁰. i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . ( i² )⁵⁰ = 2¹⁰⁰. (- 1)⁵⁰ = 2¹⁰⁰ . 1 = 2¹⁰⁰. 
Logo, o número complexo z é igual a 2¹⁰⁰ e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.

lista de exercícios

1 - Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

2 - Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵, calcule Im(z).w + Im(w).z .

3 - UCMG - O número complexo 2.O, tal que 5z + Ō = 12 + 6i é:

4 - UCSal - Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser:

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:

7 - Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.   Resp: 3

8 - Calcule [(1 + i)⁸⁰ + (1 + i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰.   Resp: 1 + 2i

9 - Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi , sabendo-se que z + w é um número real e z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a.   Resp: 50

10 - Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.  Resp: 32i

11 - Determine o número complexo z tal que i.O + 2.Ō + 1 - i = 0.

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i, é:
a) -3i       b) 1 - i       c) 5/2 + (5/2)i       d) 5/2 - (3/2)i       e) 1/2 - (3/2)i

13 - UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:
a) -1 + 2i       b) 1 + 2i       c) 1 - 2i       d) 3 - 4i       e) 3 + 4i

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10       b) 5 e 10       c) 7 e 9       d) 5 e 9       e) 0 e -9

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13      b) 7       c) 13       d) 7       e) 5

16 - FESP/UPE - Seja z = 1 + i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16       b) 161       c) 32       d) 32i       e) 32 + 16i

17 - UCSal - Sabendo que (1 + i)²² = 2i, então o valor da expressão 
y = (1 + i)⁴⁸ - (1 + i)⁴⁹ é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 2²⁴ . i       d) 2⁴⁸ . i       e) -2²⁴ . i