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segunda-feira, 10 de dezembro de 2012

ATIVIDADES DE NUMEROS COMPLEXOS



Resolva a lista de exercícios sobre Números Complexos na forma algébrica:
Recomendamos que você assista a video aula sobre Números Complexos na Forma Algébrica , antes de resolver estes exercícios:
1) (FAAP) Calcular o quociente: 1+i2−1
GAB 1+3i5
2) (VUNESP) Sendo i a unidade imaginária, o valor de (1+i1−i)4 é:
a) -1
b) –i
c) 2i
d) i
e) 1
GAB E
3) (MACK) O número (1+i)10 é igual a:
a) 32i
b) -32i
c) 32 + 10i
d) 32-10i
e) 10i
GAB A
4) O valor de i246+i121i34 é:
a) i
b) 2i
c) -1
d) 1 – i
e) 2
GAB D
5) (MACK) A solução da equação |Z| + Z = 2 + i é um número complexo de módulo:
a) 5/4
b) 5√
c) 1
d) 5√2
e) 5/2
GAB A
6) O número complexo 2z, tal que 5z +  Z¯¯¯= 12 + 6i é:
GAB Z = 4 + 3i
7) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
GAB: 1+2i
8 ) (UFES) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) 1/2 - (3/2)i
GAB B
9) Qual é o valor de m para que o produto de (2 + mi).(3 + i) seja imaginário puro?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 10
GAB B
10) Encontre os números reais x e y de modo que (3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i.
GAB : x = 2 e y = 3

1. (UFU-MG) Sejam os complexos z = 2x – 3i   t = 2 + yi, onde x   y são números reais. Se z = t, então o produto x.y é
     A) 6       B) 4       C) 3       D) –3       E) –6
2. (PUC-MG) Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a
     A) 1 + 2i       B) 2 + i       C) 2 + 2i       D) 2 + 3i       E) 3 + 2i
3. (UFV-MG) Dadas as alternativas abaixo
I.  i2 = 1        II. (i + 1)2 = 2i         III. ½4 + 3i½ = 5       IV. (1 + 2i).(1 – 2i) = 5 pode-se dizer que
A) todas as alternativas acima estão corretas
B) todas as alternativas acima estão erradas
C) as alternativas I e III estão erradas
D) as alternativas II, III e IV estão corretas
E) as alternativas I e III estão corretas
4. (MACK-SP) Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, então, o número de soluções da equação Ī = I2 é:
A) 0       B) 1       C) 2       D) 3       E) 4
5. (ITA-SP) Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-Gauss por dois pontos simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação
A) u. Ī = 1         B) u. I = 1       C) u + Ī = 0       D) u. I = 0       E) n.r.a
6. (CESGRANRIO-RJ) O módulo do complexo z, tal que z2 = i, é
A) 0       B) (Ö2)/2       C) 1       D) Ö2       E) 2
7. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
A) 5       B) 6       C) 7       D) 8       E) 10
8. (MACK-SP) O conjugado de (2 - i)/i vale
A) 1 – 2i       B) 1 + 2i       C) 1 + 3i       D) –1 + 2i       E) 2 - i
9. Se n é um inteiro, então o conjunto solução em Z, da equação in + i-n = 0, onde i = Ö-1, é:

A)
{n Є Z/ n é ímpar}
B)
{n Є Z/ n é par}
C)
{n Є Z/ n > 0}
D)
{n Є Z/ n < 0}
E)
Z
10. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
A)  5       B)  6       C) 7       D) 8      E) 10
11. Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
12. Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .
13. (UCMG) O número complexo 2z, tal que 5I + Ī = 12 + 6i é:  
14. (UCSal) Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser:
15. (UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i   c = 4 - 3i , o valor de ac + b é:
16. (Mackenzie-SP) O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
17. Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
18. Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240
19. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, sabendo-se que z + w é um número real e  z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
20. Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0, então calcule o valor de a.
21- Determine o número complexo I tal que iI  + 2.Ī + 1 - i = 0.
22. (UFMG) Se z = (cos q + i senq)  é um número complexo na forma trigonométrica, mostra-se que zn = rn(cos q + i sen nq) para todo n Î IN. Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.
A) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre que z2 = r2(cos 2q + i sen 2q).
B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais  (Ö3 + i)n  seja imaginário puro.
23. (UFMG)
A) Dado o número complexo na forma trigonométrica I = 2[cos (3p/8) + i sen(3p/8)], escreva os números complexos Ī, I2 e na forma trigonométrica.
B) No plano complexo da figura abaixo, marque e identifique os números I, Ī, I2 e no item acima.
Nessa figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer têm a mesma medida.
24. (UFMG) Por três pontos não-colineares do plano complexo, z1, z2 e z3, passa uma única circunferência.
Sabe-se que um ponto z está sobre essa circunferência se, e somente se, for um número real.
Seja C a única circunferência que passa pelos pontos z1 = 1, z2 = -3i e z3 = -7 + 4i  do plano complexo.
Assim sendo, determine todos os pontos do plano complexo cuja parte real é igual  a –1  e que estão sobre a circunferência C.
25. (UFMG) 2002 - Observe esta figura:
    
Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4.
Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados geometricamente pelos pontos  P e Q.  
Considerando esses dados, escreva o número complexo z11 / i.w5 na forma a + bi, em que a e b são números reais.
26. (UEFS) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i      b) 1 – i      c) 5/2 + (5/2)i      d) 5/2 - (3/2)i       e) ½ - (3/2)i
27. (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i      b) 1 + 2i      c) 1 - 2i      d) 3 - 4i      e) 3 + 4i
28. (UEFS) Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10      b) 5 e 10       c) 7 e 9      d) 5 e 9      e) 0 e -9
29. (UEFS) A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13      b) Ö7       c) 13      d) 7      e) 5
30. (FESP/UPE) Seja  z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16      b) 161      c) 32      d) 32i      e) 32 + 16i
31. (UCSal) Sabendo que (1 + i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 224 . i       d) 248 . i       e) -224 . i

1) Sendo z = (m^2 - 5m + 6) + (m^2 - 1) i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula    

ou seja, devemos ter m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m = 2 ou m = 3.

2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)^12.

Solução:   Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável  (1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).  Substituindo na expressão dada, vem:  (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. 
            Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a
 -64.

3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)^200.

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável (1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante,                                                                                                                                                            que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. 
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.


lista de exercícios

1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15, calcule Im(z).w + Im(w).z .
3 - UCMG - O número complexo 2.O, tal que 5z + Ō = 12 + 6i é:
4 - UCSal - Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser:
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
7 - Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.   Resp: 3
8 - Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240.   Resp: 1 + 2i
9 - Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi , sabendo-se que z + w é um número real e z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.   Resp: 50
10 - Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.  Resp: 32i
11 - Determine o número complexo z tal que i.O + 2.Ō + 1 - i = 0.
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i       b) 1 - i       c) 5/2 + (5/2)i       d) 5/2 - (3/2)i       e) 1/2 - (3/2)i
13 - UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i       b) 1 + 2i       c) 1 - 2i       d) 3 - 4i       e) 3 + 4i
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10       b) 5 e 10       c) 7 e 9       d) 5 e 9       e) 0 e -9
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13      b) 7       c) 13       d) 7       e) 5
16 - FESP/UPE - Seja z = 1 + i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16       b) 161       c) 32       d) 32i       e) 32 + 16i
17 - UCSal - Sabendo que (1 + i)22 = 2i, então o valor da expressão 
y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 224 . i       d) 248 . i       e) -224 . i

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